Komplexní čísla: mocniny

100 = 4 $\cdot$ 25

Z předchozích kapitol o komplexní jednotce víme, že platí: $i \cdot i = i^{2} = -1$
Jak ale spočítáme $i^{53}$ ?
Zkusíme si nejdřív vypočítat prvních pár mocnin.
$\\ i^{2} = -1\\ i^{3} = i \cdot i^{2} = i \cdot (-1) = -i \\ i^{4} = i^{2} \cdot i^{2} = (-1) \cdot (-1) = 1 \\ i^{5} = i^{4+1} = i^{4} \cdot i = i \\ i^{6} = i^{4+2} = i^{4} \cdot i = -1 \\ i^{7} = i^{4+3} = i^{4} \cdot i = -i \\ i^{8} = i^{4+4} = i^{4} \cdot i^{4} = 1 \\ i^{9} = i^{4\cdot2 + 1} = i^{4} \cdot i^{4} \cdot i = i \\$
Stále se opakují 4 hodnoty : $-1, -i, 1, i$ . Tyto hodnoty se mění v závislosti na tom, jaký je zbytek exponentu po dělení čtyřmi.
$\\ i^{4k} = 1 \\ i^{4k+1} = i \\ i^{4k+2} = -1 \\ i^{4k+3} = -i \\$

7 / 10

i¹⁰⁰je rovno: